確率・統計I 第３～４回

第3回は条件付き確率, 事象の独立性, 及びこれらの演習問題.
第4回はベイズの定理とその具体的な演習問題について.

次回からは確率変数に入る.

線形代数学II 第３～４回

第3回では, 線形写像の核, 像を求める問題.
第4回では, 基底に関するベクトルの成分表示と, これに併せて線形写像の表現行列を求める問題の前半部分(ほぼ自明な標準基底の場合)まで.
次回は, 標準でない基底が指定された場合について.

スペクトル・散乱京都今出川シンポジウム

開催日時が以下のように決まりました.


スペクトル・散乱京都今出川シンポジウム

下記の要領で, 研究集会「スペクトル・散乱京都今出川シンポジウム」を開催致します.

日時 : 2019年1月12日(土)-14日(月祝)
会場 : 〒602-8580 京都市上京区今出川通烏丸東入 同志社大学今出川キャンパス 良心館RY105
https://sites.google.com/view/specscattimadegawa2019/

日本数学会奨励研究生

日本数学会が新たな取り組みを行うようです.
緊縮財政で若手の研究環境は厳しいものが続いています.
こういう機会は一つでも多い方が良いように思います.

「日本数学会奨励研究生」の募集について（11月1日～11月30日）
http://mathsoc.jp/publicity/news20181003/2019shourei.html

確率・統計I 第１～２回

初回は統計に関する概要と, なぜ確率が必要なのかという点について.

第2回は, 古典的確率の定義と例.
特に, 根元事象, 全事象(標本空間), 事象等の確率の概念についての解説.

場合の数を数えることはできないが, 直観的には明らかに確率があるような事例ではどのように確率を定義すべきかという問題.
コルモゴロフによる公理的確率の定義.

公理的確率は抽象的なので難しく感じたかもしれないが, 高校までに学ぶ直観的確率の一般化なので, これまで使ってきた確率の性質や直観的な感覚は今後も通用する.
ただし, 今後の確率統計の学習では, 確率を求めたい事象について集合の言葉で整理することが理解のポイントになる.
次回以降, 極力具体例を使って解説する.

線形代数学II 第１～２回

ベクトル空間の復習と線型写像の定義.
与えられた写像について, それが線形であるか否かの判定問題まで.

プレプリント投稿

プレプリントを公開しました.

Hisashi Morioka, Generalized eigenfunctions and scattering matrices for position-dependent quantum walks, preprint.  arxiv:1809.02988

有料雑誌への投稿関連メモ

熊本大学 URA推進室
ハゲタカジャーナルへの投稿リスクについて（注意喚起)
https://poie.kumamoto-u.ac.jp/URA-web/tool/tooltopics2.htm

最近, 「本雑誌には不適切だが, 同出版社の○○誌なら適当であると思われるのでそちらへ移管する」と言って完全有料誌に送られるケースがあったので紹介.
(なお, 私の体験したケースがハゲタカ誌であったかどうかは不明. 一応, 実績ある出版社なので多分違うだろうとは思うが.)

近年は文科省もopen accessを推奨しているし, 出版サイドも投稿料を支払えばopen accessにできるよう選択可能にしているところは増えていますが, 完全有料のところが稀にあるようなので, 論文投稿の際には注意が必要.

解析学I 第１４～１５回

力学で登場する代表的な常微分方程式として, 非斉次の2階定係数常微分方程式について.

バネの振動を題材とすれば,

m x'' + c x' + k x = f

において, 非斉次項fは外力を表し, 他方で左辺の方程式はバネそのものが持つ力によって得られる式である. (基本はニュートンの運動方程式.)

この際, 運動を表す x は以下の形をとる.

x = 斉次方程式の一般解 + 非斉次方程式の特殊解

非斉次方程式の特殊解は, 加えられた外力とおよそ同じ形を取ると仮定し, 右辺の式に対応して適切な関数を代入することで求められる.

その他, 単振り子の運動を導出する際に用いる極座標を用いたニュートン運動方程式の書き換えについての注釈.

フーリエ・ラプラス解析 第１４～１５回

熱拡散方程式の解の導出再論.
一般解の導出法は同様だが, 初期温度分布関数を具体的に与えた時, そのフーリエ正弦・余弦係数の導出法に多少の注意が必要.
(本講義前半で導出したフーリエ係数一般論の``公式"の形がそのまま適用できないものになっている.)

考え方は, 本講義前半で展開したフーリエ係数の導出を, この場合にも行えば良い.
具体的には, 三角関数の直交関係がこの場合にも成り立つ.

今年度の本講義はこれで終了.
7/30に期末試験を実施, 成績を評価する.

解析学I 第１３回

定係数2階線形微分方程式について.
今回は斉次, 次回は非斉次の場合をやる.

斉次の場合には, 指数関数で解が与えられると仮定し, 特性方程式を解くことで一般解を導出できる.
この際, 1次独立な解を2つ見つける必要があるが, 特性方程式が重解を持つ場合だけは注意が必要.
また, 複素数解の場合には, オイラーの公式を適宜利用して物理的に実現される解に書き直すことにも慣れておくべき.

フーリエ・ラプラス解析 第１３回

インディシャル応答の具体的な導出について.

m x'' + c x' + k x = f, x(0)=x'(0)=0,

で与えられる物理系の場合で求めた.
この導出そのものにおいては, わざわざラプラス変換は行わない方が楽.

次回はインパルス応答を導出するが, これは外力としてデルタ関数(これは超関数)を含むためどうしようか思案中.

解析学I 第１２回

微分方程式, 特に変数分離型について.
次回は2階常微分方程式のうち, 力学でしばしばみられるタイプのものについて.

フーリエ・ラプラス解析 第１２回

伝達関数法について.

前回のようにただ微分方程式を解くだけならそれほど有益ではないが, 制御工学のように, 「欲しい応答を与える外力を求める」等, 数学的には逆問題となるような設定の場合には必要になる.

外力と応答は伝達関数によって対応付けられる.
伝達関数は, 微分演算子のラプラス変換の逆数として与えられ, 外力には依存しない.

代表的なものとして,

インディシャル応答
インパルス応答

を導出.
さらに一般の応答は, これらを用いてたたみ込み積分として表示できる.
たたみ込みの詳細は次回.

解析学I 第１１回

広義積分.
大きく分けて

1. 積分範囲が非有界
2. 被積分関数が積分区間内の有限個の点(多くの場合端点)で不連続

の2種類がある. (より一般の場合は割愛)
いずれも, 通常の定積分となるように積分範囲を打ち切り, 定積分を計算した後で極限を取り「面積」を近似することにより定義される.

収束判定には, しばしば x^{\alpha} が用いられる.

次回はこの演習問題.

フーリエ・ラプラス解析 第１１回

逆ラプラス変換について.
連続関数かつ同じ指数位数を持つ関数のラプラス変換が等しいならば, 元の関数も等しいことを事実のみ紹介.
(より一般には, 不連続点を除いて等しい.)
このことから, ラプラス変換は1対1であり, 逆変換が可能であることが分かる.
逆変換公式を複素線積分により行う公式もあるが, この講義では複素解析をやっておらず, また実際の計算上もあまり実用的とは言えない.
よって, 基本的には変換表の逆をたどることにより行う.

次に導関数のラプラス変換を導出.
これを用いて常微分方程式を解く.
ただし, 機械力学や制御工学で現れるような2階常微分方程式を, なんでもかんでもわざわざラプラス変換により解くことは必ずしも得策ではないことに注意.
ラプラス変換で解いた方が楽であるということはあまりなく, たとえ非斉次方程式であっても, 外力項の形と力学的な常識から特殊解の形は容易に想像できるし, 斉次部分に対応する一般解も特性方程式を解く方が早い.

解析学I 今後の予定

第11回(6/27) 広義積分の計算
第12回(7/4)　常微分方程式(単振動)
第13回(7/11) 常微分方程式(放物運動と抵抗)
第14回(7/18) 曲線(速度ベクトルと曲線長)
第15回(7/25) 予備日(演習等)

期末試験 : 8/8(水) 1講時

フーリエ・ラプラス解析 今後の予定

第11回 (6/25) ラプラス変換の諸性質(導関数のラプラス変換等)
第12回 (7/2)　常微分方程式の初期値境界値問題
第13回 (7/9)　常微分方程式の初期値境界値問題
第14回 (7/16) 熱伝導方程式の初期値境界値問題再論
第15回 (7/23) 予備日(演習等)

期末試験 : 7/30(月) 2講時

解析学I 第１０回

積分の演習問題.
2問ほど残したので次回解説.

次回は広義積分に入る.

フーリエ・ラプラス解析 第１０回

本日の講義は, 08:07に大阪北部で発生した地震の影響により休講となりました.

震源・震度に関する情報平成３０年　６月１８日０８時０７分　気象庁発表
http://www.jma.go.jp/jp/quake/20180617230735393-18075838.html

同志社大学 本日の休講について
https://www.doshisha.ac.jp/news/2018/0618/news-detail-6120.html

解析学I 第９回

積分法初回.

積分は微分の逆であると定義される, わけではないので注意.
諸般の事情から高校ではこのように導入せざるを得ないようだが, 工学系でこの理解しかしていないと後々数値解析, 力学等で分からなくなることが増えるように思う.

ということで, 区分求積法や台形近似法を例としてリーマン和の考え方を解説.
これに基づいて定積分を定義し, 定理として「積分は微分の逆」を意味する微積分学の基本定理を導出.

フーリエ・ラプラス解析 第９回

ラプラス変換.

フーリエ変換, ラプラス変換は積分変換で, 元の関数と変換後の関数を行ったり来たりしつつ問題を解くのに用いられる.

ラプラス変換には変換表があり, 制御工学の教科書等にも載っている.
この表はやや取扱注意.
普通に使う分には構わないが, 関数は式と定義域がセットであり, たとえ式が同じでも定義域が異なればそれは違う関数になる.
実際, 定義に基づいてラプラス変換を計算すると別のものが出てくる.
表を使う場合には, それが表を使っても良い関数かどうかを定義域まで含めてチェックすること.

解析学I 第８回

テイラー・マクローリン展開の演習問題.

問1. 代表的な関数のマクローリン展開の導出.

問2. マクローリン展開を利用した極限の計算.

問3. 力学や機械工学でしばしば現れる近似の文脈に関する問題.

フーリエ・ラプラス解析 第８回

折り返し地点.

フーリエ級数の収束について.
関数項級数の収束には各点絶対収束だけでなく, 一様収束や平均2乗収束など諸定義がある.
本学科ではこのあたりのことを深入りする準備が難しいので, 滑らかな関数のフーリエ級数は各点絶対収束すること, 2乗可積分関数のフーリエ級数は平均2乗収束することを紹介.

平均2乗収束の証明の細部には立ち入らず, 代わりに, 通常の関数項級数と違い注意しなければならない事の例として, 不連続関数のギブス現象を紹介するにとどめた.

なお, フーリエ級数の計算問題程度でも, 絶対収束はしない点を持つが平均2乗収束はするというものはよくある.

1つだけスペクトル強度を求める計算問題の演習.

フーリエ級数の基礎的なことは一通り終えたので, 次回からは一旦ラプラス解析に移る.

解析学I 第７回

(有限)テイラー展開について.

テイラーの定理の証明方法は, 普通平均値の定理に持ち込んでやると思うが, 個人的に初学者に教える場合にはあまり好きではない(どうも「公式が空から降ってくる」ような感じがする)ので, 部分積分を使った方法で導出.
なお関数の滑らかさに関する仮定が強くなるのでそれはよくないのではないか, という指摘も受けたことがあるが, 機械工学の教科書をいくつか読むと, 重要なことは明らかにそこではなく後述の近似の考え方だと思うので, 剰余項に関する微妙な取扱いについては必要になってからで良いと自分は考えている.

テイラー展開の考え方の要諦は関数の多項式による近似.
剰余項は, n次多項式で近似するならば, 展開中心aの近傍でo((x-a)^n)となる.
実際, 力学の教科書等では, 非斉次の微分方程式を解く際, 非斉次項の「高次の項を無視すると」などとやることがよくある.
テイラー展開をちゃんと理解していれば当たり前だが, 非斉次項が多項式でない場合には戸惑う学生さんもいる模様.

なお, e^x, sin x, cos xのような基本中の基本となる関数のテイラー(マクローリン)展開はさすがに覚えておいたほうが吉.

次回は力学での実例を含めた演習問題.

プレプリント投稿

瀬川悦生氏との共同研究のプレプリントを公開しました.

Hisashi Morioka and Etsuo Segawa, Detection of edge defects by embedded eigenvalues of quantum walks, arXiv:1805.11742.

フーリエ・ラプラス解析 第７回

フーリエ級数の物理的な解釈とスペクトル分解について.

フーリエ級数は, 関数が表す現象を振動と思うことで, その各固有振動数に対応する単振動成分に分解したもの, と解釈することができる.
フーリエ係数は, 各成分の振幅や位相を表すパラメータだと思うことができる.

さらに, フーリエ係数からスペクトル強度を定義し, パーセバルの等式を導出した.

解析学I 第６回

まずロピタルの定理.
これについては, 適用出来る場合の確認と計算法, いくつかの例のみ.

本題.
無限小とランダウの記号について.
微積分分野においてもどうしても代数計算のみに走りがちな高校数学から, 微小な変化を捉える誤差や近似の概念が必要になるテイラー展開に向けた重要な準備のつもり.
最初なので定義もきちんと行ったが, 実際に使う際には有効数字の感覚に近い.
次回ももう少しランダウの記号になれるための問題をやってから次に進む.

フーリエ・ラプラス解析 第６回

フーリエ級数を周期関数に適用できるよう拡張.
と言っても, 積分範囲を平行移動すれば, これまで導出した諸々に帰着できることを確認するのみ.

フーリエ係数の計算練習問題.

解析学I 第５回

今回は微分法の演習問題.

問1. xのx乗という関数の微分法. 対数微分法で計算可能であることが知られているが, その基本になるのは合成関数の微分の正しい理解.

問2. cosh x, sinh x, tanh xのグラフの概形.

問3. 逆三角関数の微分法に関するちょっとした問題.

問4. 近似値の計算. 誤差を用いた微分法の定義式の書き換えは, 科学技術計算のような数値的取扱いにおける基礎中の基礎になっている.
これの発展バージョンがテイラー展開をはじめとする解析学の肝.

フーリエ・ラプラス解析 第５回

複素フーリエ級数の導入と複素フーリエ係数の計算法について.

オイラーの公式
exp (it) = cos t + i sin t

を用いることで, 三角関数型のフーリエ級数は指数関数型のフーリエ級数に書き換えることができる.
フーリエ係数は適当な関係式で複素数として変換可能.

複素数値であることにさえ慣れれば, 指数関数型の方が計算量は減るので楽である.
事例を一つ計算して今回は終了.

解析学I 第４回

合成関数の微分, 逆関数の微分.
既に高校の既習事項ではあるが, 色々と注意すべき点が多く, これらを確認.

y=f(t), t=g(x) ⇒ y=f(g(x))

dy/dx = ( dg/dx )(x)・( df/dt )(g(x))

のように, 変数が何であるかに注意を払って理解と計算をすべき.
特に, aを定数としたとき,

(d/dx)(f(a))  = 定数f(a)をxで微分せよ =0

と

(df/dx)(a)  = fの導関数のx=aでの値

とでは全く意味が違うことがあまり理解されていないことがあるので, これに気を付ける.

これの応用として逆関数の微分法.
特に逆三角関数の導関数の導出.

フーリエ・ラプラス解析 第４回

三角関数の直交関係を用いたフーリエ係数の導出について.
フーリエ級数にはいろいろと流儀があり, 基底関数として何を取るかに依存して係数が決まる. (線形代数におけるフーリエ展開と同様.)

いずれにせよ, 三角関数が関わる積分の計算が必要となる.
その具体的な計算方法と, 例題と練習問題を実施.

解析学I 第３回

微分係数と導関数について.

まず, 高校でも学ぶ微分係数の定義から始めた.
幾何学的には, 関数のグラフの接線の傾きに等しい.
力学では, 微小な時間における微小変化率, つまり速度を表すベクトルに微分係数が現れる.

力学や機械工学における実戦的な微積分では, 微小変化率ではなく, 微小変化量から物理量を表す式や微分方程式を導出することがよくある.
そのため,

f(x+⊿x) - f(x) = f'(x)⊿x + ε(x),  ⊿x : 十分小さい

という式は常識として知っておかなければならない.
さらに, fが微分可能ならば, 誤差ε(x)は, ⊿x→0のとき⊿xよりも速く0に収束するという意味で非常に小さい.

フーリエ・ラプラス解析 第３回

三角関数の直交関係について.

まず, ``関数の直交関係"とは, 内積が0であるという意味で定義される.
関数同士の内積は, 線形代数と同様の性質を持つような積分で定められる.
(専門用語で言えばL^2内積.)

次に, L^2内積について, フーリエ級数の各項に現れるような三角関数は直交関係にあり, 正規直交基底に相当する性質を持つことを確かめた.
(関数の正規直交基底について, 精密な説明は割愛.)

若手研究集会「波動・振動・流れの制御と逆問題 - 理論と数値計算-」

今年度も開催します.

若手研究集会「波動・振動・流れの制御と逆問題 - 理論と数値計算 -」
https://sites.google.com/site/macmpimadegawa2017/index/2018

解析学I 第２回

逆三角関数の定義.
定義域と値域のセットで理解すること.
簡単な確認問題を演習.

その後, 関数の連続性の定義と簡単な例.

次回から微分に入る.
今年度は, 機械系4力学や一回生の物理学を意識して, 微分の内容を進める予定.

フーリエ・ラプラス解析 第２回

熱伝導方程式の解を, 断熱境界条件(Neumann条件)と初期条件を与えた状態で求める.
変数分離型の解を求めると, (やや長い計算過程ではあるが)フーリエコサイン級数が自然に現れる.
同様のことを等温条件(Dirichlet条件)のもとで行うと, フーリエサイン級数が現れる.
これらがフーリエ級数の原型である.

次回から, フーリエ級数の具体的な取扱いや性質に入る.

解析学I 第１回

初回.

まず関数について.
関数は初等関数のような式のこと, ではなく, 変数に値を対応させる規則のことで, 定義域(とそれに伴う値域)とセットで考えるべきものである.

...ということは, 計算するだけならあまり気にしなくても良いが, 次回やる逆関数(特に逆三角関数)の理解においては重要なので, ことさら強調.
今日はその前段となる, 定義域を固定したうえでの1対1の概念についての解説と問題まで.

フーリエ・ラプラス解析 第１回

初回.

今日は物理・工学的題材の例として熱伝導方程式の導出.
細長い熱導体を仮定し, フーリエの法則と総熱量の変動の式から熱伝導方程式が導かれることを説明.

実際の物理的状況では, 初期温度分布と境界条件が必要であることまでを解説し, 具体的な解の構成は次回.

プレプリント投稿

安藤和典氏, 磯崎洋氏との共同研究のプレプリントを公開しました.

Kazunori Ando, Hiroshi Isozaki and Hisashi Morioka, Inverse scattering for Schr\"{o}dinger operators on perturbed lattices, arXiv.1803.09499.

微分積分の基礎 飯田洋市, 大野博道, 岡本葵, 河邊淳, 鈴木章斗, 高野嘉寿彦 著 (培風館)

培風館様より献本を頂きました.
ありがとうございました.

店頭に並ぶのは3月末頃のようです.

確率・統計I

確率・統計Iは期末試験を実施し, 2017年度秋学期の全日程を終了しました.
各学生の諸々の提出物と試験の内容を加味し, 成績を評価します.

線形代数学II

線形代数学IIは期末試験を実施し, 2017年度秋学期の全日程を終了しました.
各学生の諸々の提出物と試験の内容を加味し, 成績を評価します.

線形代数学II 第１４回

演習をしました.

確率・統計I 第１４回

レポート課題を出題しました.

線形代数学II 第１３回

演習をしました.
また, レポート課題を出題したので, 指定の期日場所にて提出のこと.

確率・統計I 第１３回

中心極限定理の主張と, 簡単な場合についてその応用問題を解説した.
扱っている事象が従う確率分布がどうあれ, その標本平均は, 標本数が十分多い場合には正規分布に近似的に従うこと.

線形代数学II 第１２回

演習をしました.

確率・統計I 第１２回

大数の(弱)法則について解説した.
厳密な部分は理解しにくいところかと思うが, これの意味は, 言葉で言えば``標本数を限りなく大きくしたとき, 標本平均が母平均に収束しない確率は0である"というもので, 直観的には明らかな主張である.
(なお, 強法則の方がより直観的に明らかな主張に近いが, 数学的な道具立てがより長くなるので, 本講義では割愛する予定.)

次回は中心極限定理をやるつもり.
本当は, 法則収束や弱収束の概念が関係しているため, 1回生対象科目としては厄介ではあるが, 可能な限り直観的に説明を試みる.