微分方程式 第１３回

残りの講義では演習を行う予定.

微分方程式 第１２回

連立線形微分方程式の解と相平面について.
解の導出の仕方はいくつかあるが, 係数行列の指数関数を求める場合は, その計算自体がほぼ解を求める計算のすべてである.
解の軌道の概形を調べるには, 係数行列の固有ベクトルがポイントになる.
各固有ベクトルについて, 時刻に関してどちらが早く減衰し, どちらの影響が強く残るのかで相平面上の軌道の概形が決まる.
安定性などもこれに関係して決まってくるが, 詳細は次回以降.

微分方程式 第１１回

連立線形微分方程式について.
連立線形微分方程式を解く際の道具となる行列の指数関数の定義.
行列の指数関数は, 通常の指数関数のべき級数展開のアナロジーとして定義する.
(複素関数, 作用素の指数関数の場合なども同様の考え方をする.)

対角行列, べき零行列などに対しては具体的に計算することが容易である.
一般には, 対角化可能なら対角化することにより行列のn乗が計算でき, それにより行列の指数関数が求められる.
対角化可能でない場合にはジョルダン標準化が必要になるが, これは簡単のため割愛.

次回以降は, 行列の指数関数を利用して具体的に連立微分方程式を解く.
題材は制御理論などからも選ぶ予定.

微分方程式 第１０回

2階定係数線形微分方程式, 非斉次の場合の一般解について.
一般解は, 対応する斉次方程式の一般解と, 非斉次方程式の特殊解の重ね合わせで表される.
(なお, 2階方程式の解の一意性により, 特殊解は実は一意的である. この点についてはこの講義では詳しくは触れない.)

前回も触れたように, 非斉次の場合には非斉次項の関数に似た形で特殊解が与えられる.
2階方程式の場合には, バネの振動現象を想像すれば物理的直観に基づいて理解できる.
つまり, 外力を与えられたバネは, 外力と無関係に運動することはないので, 外力の形に沿うように運動する.
ただし位相のずれなどを考慮して, 多項式なら低階項を補い, 三角関数なら正弦余弦の重ね合わせを想定するべきである.
(未定係数法では, 必要以上の関数を組み合わせても, 結果的に余分な項は消えるので正確に「暗記」することを気にしすぎることはない.)

微分方程式 第９回

中間試験の解答を少々.

非斉次の2階定係数常微分方程式について.
この場合は, 物理的直観からも分かるように, 解は非斉次項に影響され似た形になると推測される.
次回はこの考え方に基づき未定係数法を解説する.

微分方程式 第８回

斉次定係数2階線形常微分方程式の一般解について.
指数関数を代入することにより, 自然に特性方程式が得られる.
特性方程式の解が,

1. 実解
2. 実重解
3. 複素数解

のそれぞれの場合について, 一般解を記述できる.

物理的に重要な単振動など, 現実に現れる振動現象を表す解は, 往々にして特性方程式の複素数解に伴う複素数値関数を用いて記述されることが多い.

微分方程式 第６回

1階線形微分方程式の一般解の導出.
公式を代入して成り立つことを確認, でも良いが, 積分因子を求めて完全微分方程式として解く方法を用いた.

次に2解線形微分方程式の導入.
力学におけるニュートンの法則が2階方程式となるため, こちらの方が応用上現れることが多い.
今日はさわりのみで, 斉次方程式の解の線形性について.
線形代数で学んだ概念と関係が深いことを紹介した.

次回は中間試験を実施する.

微分方程式 第5回

完全でない全微分形方程式の積分因子の導出.
さらに, 完全微分方程式の応用として, 1階線形微分方程式について.
積分因子の導出の途中まで.

微分方程式 第４回

完全微分方程式の完全性の判定条件と一般解の求め方について.

完全微分方程式に現れるdx, dyという記号は形式的なものだと思っても良いが, 本当は陰関数の微分と微分形式から理解されるべきものである.
なお, 次回やる積分因子を理解すれば, 1階線形方程式も完全微分方程式の枠組みで理解できるので, 個別に覚える必要はない.

微分方程式 第１回～第３回

微分方程式の前に導入と基礎事項.
数学的な部分では, 何が変数かをきちんと認識して区別することが重要.
つまり微分積分の基本的なことが最も重要.
(基本的, というと初等関数の計算みたいなことが連想されるようだけど, それだけじゃない. というよりそれ以上に重要なこと.)

また常微分方程式の理解においては, 多変数関数の偏微分, 全微分(微分形式), 陰関数, 合成関数の微分, などの初等的な扱いをきちんと理解していることが求められる.
(意外と工学部で使う教科書, あるいは講義・演習ではこのあたりのちゃんとした扱いが抜け落ちているように思われる. そのために, その後の力学や各種工学の科目で理解に支障をきたしているようだ.)

変数分離型.
変数を左辺右辺に分けて積分しましょう.
解は陰関数表示でも構いません.

完全微分方程式.
今日の説明は後で考え直すと少しおかしいところや誤解を招くところがあるのでGW明けにもう一度整理する予定.
完全微分方程式は, dxやdyを形式的に扱う分には大した計算ではないが, 本来は陰関数の微分, ならびに全微分(微分形式)からの意味付けがなされるもの.
dxやdyをまるで分数のように扱うのは, 気になる人は気になるし, 定義されていないといずれにせよ意味不明と思うので, 本講義ではそういう取り扱いは極力避けるつもり.