フーリエ・ラプラス解析 講義終了後雑感

まだ他科目の処理があり期末試験の採点などには手を付けられていませんが, 色々と感じたことを.

1. ラプラス変換の「表」
機械系に限らず, 制御理論等ではラプラス変換は頻出かつ必須の計算テクニックとして教えられているようです.
制御理論の教科書をいくつか眺めてみましたが, 当然そこでもラプラス変換の定義は教えられており, 変換「表」はあくまでも基本的な関数の変換・逆変換を求めるための手段になっています.
(なお, 逆変換を計算によって求めるには, 厳密には複素線積分の知識が要るので若干ハードルが高い. 形式的にやることはできなくはないだろうけど, 学生には意味不明になるおそれも.)

もちろん, 「表」にある基本的な関数とその逆変換で済む場合にはそれを利用すれば良いと思います.
今回の試験では, 「表」をそのまま利用できない場合, 特に関数の定義が区分的に変わるような場合のラプラス変換を出題しました.
案の定, 形式的かつ強引に「表」を適用しようとして全く異なる解答に至った学生がかなり多かった模様.
(ちなみに, 各区間での関数は定数関数や一次関数で, 定義に従って積分をすればあっという間に求まる程度のものでした. 「表」と諸々の公式を複雑に組み合わせればそれでも求まるかもしれませんが, そこまでやるメリットはないし, 普通に積分すれば終わりです.)

今年度初めてフーリエ・ラプラス解析を担当しましたが, 工学系の学生であっても, このような工業数学, 応用数学に属する部分の理解は, もう少し基礎基本をきちんとやらなければいけないと思ったところです.
ラプラス変換に限ったことではないのですが, どうも基本的な数学・力学的な部分の勉強の仕方が根本的におかしいために, 機械系4力学の成績にも無視できない悪影響を及ぼしている学生も少なくないように見られます.
ラプラス変換の計算については, せめて順変換については定義に基づき計算できるよう講義中にも何度か説明をしたのですが, あまり伝わらなかったようです.
くどいようですが, これに関しては「表でしかできない」「表しか知らない」のは明らかに分かり方としておかしいので, 今後も機会があるごとにこの認識は修正していくつもりです.


2. フーリエ解析とオイラーの公式
フーリエ係数の計算は, 森岡ははっきり言って複素数形式の方が計算量が少なく楽だと思うのですが, 学生さんの意見は逆のようです.
やはり「複素数が怖い」という不慣れな感じは拭い難いようで.
とはいえ, 三角関数形式で部分積分を繰り返すことも, それはそれで凄まじい積分計算に感じられると思うので, こればかりは慣れだと思います.


3. 原理原則
上2つと関係しますが, 原理原則の理解はやはり相当程度重視すべきだと思います.
よく「工学部では計算ができれば良い」などと揶揄する声も聞きますが, 厳しいことを言うと, 現状では計算も危うい状況です.
(そもそも, 計算をするという行為自体にも原理原則の理解が必要です. 合成関数の微分や置換積分など, 関数の基礎的なことを体感的にでも理解していないとまともに使うことができません.)
機械系専門科目の教科書類にも, 理論的にどうしてそうなるのかということは工学の観点から当然書かれていますが, そういう部分は一切追わずにはなから例題や過去問の結論部分だけ暗記してやろうという学習態度がかなり横行しているように感じます.
結果, ちょっと設定が変わると何も答えられなかったり, 自分が行った実験は何をやっているのか, その背景は, といったことが全く分からないままになっている, ということが起こります.

こういう部分は, 数学の教員が基礎教育の段階から可能な限り拾っていかないといけないところだろうなとこの一年の業務を通じて感じているところです.

フーリエ・ラプラス解析 第１５回

最終回.

直線上の熱拡散方程式の初期値問題の解について.
色々先延ばしにしてきたが, ようやく熱核の具体的な計算を行い, 熱核による解表示を畳み込みによって与える方法を述べた.

次回, 期末試験を実施してこの講義を終了する.

フーリエ・ラプラス解析 第１４回

畳み込み積分とフーリエ変換の諸性質について.
その後ガウス関数の積分について.

次回は, 熱核と熱拡散方程式の解について解説し, 講義を終える予定.

フーリエ・ラプラス解析 第１３回

演習の答え合わせ.
次回以降, 畳み込み積分と, 無限区間上での熱拡散方程式の解の構成および熱核の定義を行って講義を終了する予定.
期末試験日程は近日中に教務システムで公表される予定.

フーリエ・ラプラス解析 第１２回

フーリエ変換の応用として, 熱拡散方程式の解の導出.
本当は熱核の導出もしたかったが, 例によって複素線積分などが絡んで面倒であったため割愛.

その前に, ディラックのデルタ関数について直観的な紹介.
ただし, 積分を用いた超関数的定義も紹介しておいた.
これにより, デルタ関数のフーリエ変換も自然に求めることができる.

以降はフーリエ係数, フーリエ変換の計算演習.
次回, これの答え合わせ.

期末試験までに, 畳み込み積分の導入と, 熱拡散方程式の解を熱核を使って表すことまではなんとか解説したい.

フーリエ・ラプラス解析 第１１回

小テスト実施.

フーリエ変換の続きを少々.
ラプラス変換同様, フーリエ変換も微分演算を単項式の掛け算に置き換える働きがある.

次回は, フーリエ変換を使って熱拡散方程式の初期値問題を解いてみる予定.

フーリエ・ラプラス解析 第１０回

逆ラプラス変換について.
色々検討したが, 変換表によらない逆変換にはどうしても複素線積分や留数定理の知識を要するため断念.
平行移動等に関する幾つかの公式を確認してラプラス変換については終えた.
(元々, 機械系の専門科目でも用いられているので, そちらに役立ててもらいたい.)

以降はフーリエ変換について若干の内容を扱って行きたい.
できればFFTについても触れたい.

次回はラプラス変換の部分について小テストを実施.

フーリエ・ラプラス解析 第９回

今週からしばらくラプラス変換と微分方程式への応用について.
なお, 機械系の学生は機械制御等で既に学習している場合も多い.

ラプラス変換の定義と, いくつかの関数に対するラプラス変換の計算例.
また, 微分演算は, ラプラス変換を通じて単項式をかける操作に書き換えられる.
これにより, 例えばある種の常微分方程式を解くことは, 分数関数の代数的な計算に置き換えることができ, 機械的な計算により解くことが可能になる.

この際, 最後に逆ラプラス変換をする必要がある.
本来は, 逆変換を計算する一般的な方法があるのだが, 複素線積分を使って書かれているためやや敷居が高い.
機械系では, 基本的なラプラス変換の表といくつかの基本的計算規則により逆変換を求める方法が取られている.

フーリエ・ラプラス解析 第８回

引き続き, 熱方程式の初期値・境界値問題の解の導出.
工学では厳密解が求まることは少ないと思うが, 原理原則として一度は経験してほしい.

基本的には変数分離のうえ, 境界条件を考慮して丁寧に定数決定していけば良いが, 最終的な形がフーリエ余弦級数(ディリクレ境界条件の場合には正弦級数)になるため, 実際の取扱では周期について注意が必要である.

次回以降は, 機械制御などの教育おいてよく用いられているというラプラス変換に一旦移る予定.

フーリエ・ラプラス解析 第７回

小テスト実施.

今回から次回にかけて, 機械工学全般で登場する物理現象の中から, 熱伝導方程式と波動方程式について, フーリエ級数の応用を紹介する.
今回は熱伝導方程式にノイマン境界条件＋初期条件を課したものについての解の導出. 途中まで.

フーリエ・ラプラス解析 第６回

フーリエ級数の平均2乗収束について.
ここは厳密にやるのは難しく, 可積分関数の連続関数による近似, 連続関数の三角多項式による近似, 等の基本的な事実を紹介したあと, 内積の線形代数的な取り扱いを使って, 三角多項式近似が最良近似であることを紹介した.
フーリエ級数の平均2乗収束はこれらの事実から導かれる.
なお, 以上の計算においてはε-δ法による収束の定義が用いられる.
これについても若干触れた.

次回は, 小テストを実施する.

フーリエ・ラプラス解析 第５回

複素フーリエ級数の導入.
オイラーの公式による単純な式変形なので, 一度ちゃんとやれば分かると思う.

級数の収束について.
関数項級数の収束については, 機械系など工学系学科での微積分の講義ではなかなかきちんと取り扱うのは難しいと思われる.
フーリエ級数に関しては, 様々な意味での総和法とその収束が研究されている.
本講義では, その中でも各点収束と平均2乗収束について触れる.

今回は, C^2-級関数を仮定して, そのフーリエ係数は|n|^{-2}のオーダーで減衰することまで.
(本当はこの仮定は講義中で示した事例や応用を考えると不自然だが, 収束の件をどこまでやるのか, まだ悩んでいるところ.)

フーリエ・ラプラス解析 第４回

具体的な関数をフーリエ級数展開する実例の計算.
係数決定のための積分計算はとりあえずまじめにやりましょう.

関数の微分可能性や(不)連続性に応じて, フーリエ係数の減衰の速さ(つまり級数の収束性)が変化する.
特に, 展開する関数が不連続点を持つ場合には, 不連続点の近傍では収束が悪くなる.
これをギブス現象と言う.

最後に時間が少しだけあったので, 次回以降の複素フーリエ級数に使うオイラーの公式の復習.

フーリエ・ラプラス解析 第３回

与えられた関数fをフーリエ展開する際の, フーリエ係数の決定について.
当面は級数の収束性については気にしないこととする.

フーリエ係数の決定には, 三角関数の直交関係が本質的なポイントになる.
直交関係は, 線形代数で学んだ正規直交系のことを思い出せば良いが, 内積が積分で定義されているので, 慣れるまでは違和感があるかもしれない.

次にフーリエ係数の計算式.
この式は, 暗記するよりも考え方を理解することが重要.
フーリエ解析の実践的な使用においては, 状況に応じて積分範囲(与えられた関数の周期に対応)を取り替えたり, 偶関数, 奇関数などを考慮して工夫することも多く, ``公式の丸暗記"だけではそのような取扱いに対応できない.

次回は, 具体的な関数を実際にフーリエ展開してみる.

フーリエ・ラプラス解析 第２回

波動方程式の進行波解と定常解(変数分離解)の導出.

進行波解の導出は, ある意味合成関数の微分法や積分法の復習.
ただし, 全ての解は進行波解の形をしているという事実は重要.

次に初期値・境界値問題に対する変数分離解.
結局のところ, 各変数についての単振動に帰着できる.
また, 境界条件から波数は整数値であるという制限が付く.
このことから, フーリエ級数の形が自然に導かれる.
(なお, 最後に急いでしまったので, フーリエ余弦級数のところで少しウソ言ったので, 次回訂正する.)

時間がかかってしまったのでダランベール解は省略.
背景に関してはここまでとして, 次回からは, フーリエ級数の計算法など中身に関してやる.
ここまでは背景なのでやや学生さんに求める知識としてはムリをしているが, 次回からは丁寧にやるつもり.

フーリエ・ラプラス解析 第１回

フーリエ解析の動機と物理的な常微分・偏微分方程式の事例並びに導出.

単振動の復習.
単振動の方程式の一般解は正弦波と余弦波の重ね合わせで表される.
フーリエ解析の素朴な考え方は, このような現象を表す関数(数学的には様々なクラスの関数)を正弦, 余弦の重ね合わせで表すことである.

次に振動弦を事例とした波動方程式の導出.
張力Tで張られた均質な弦が従う方程式を物理的に導出できる.
その結果得られた波動方程式は, 空間2階, 時間2階の偏微分方程式である.
これまで力学等で学んだ常微分方程式と比べても解くのは難しいが, フーリエ解析の講義を通じて解く方法を学ぶ.

最後に熱方程式(拡散方程式)の紹介だけ.
熱方程式はもはや振動現象ではないが, この場合も正弦, 余弦関数の重ね合わせで解くことができることを後に見る予定.

波動方程式のダランベール解と, 変数分離解から自然にフーリエ級数が現れることは次回.