フーリエ・ラプラス解析 第１５回

最終回.

直線上の熱拡散方程式の初期値問題の解について.
色々先延ばしにしてきたが, ようやく熱核の具体的な計算を行い, 熱核による解表示を畳み込みによって与える方法を述べた.

次回, 期末試験を実施してこの講義を終了する.

フーリエ・ラプラス解析 第１４回

畳み込み積分とフーリエ変換の諸性質について.
その後ガウス関数の積分について.

次回は, 熱核と熱拡散方程式の解について解説し, 講義を終える予定.

微分方程式 第１３回

残りの講義では演習を行う予定.

フーリエ・ラプラス解析 第１３回

演習の答え合わせ.
次回以降, 畳み込み積分と, 無限区間上での熱拡散方程式の解の構成および熱核の定義を行って講義を終了する予定.
期末試験日程は近日中に教務システムで公表される予定.

微分方程式 第１２回

連立線形微分方程式の解と相平面について.
解の導出の仕方はいくつかあるが, 係数行列の指数関数を求める場合は, その計算自体がほぼ解を求める計算のすべてである.
解の軌道の概形を調べるには, 係数行列の固有ベクトルがポイントになる.
各固有ベクトルについて, 時刻に関してどちらが早く減衰し, どちらの影響が強く残るのかで相平面上の軌道の概形が決まる.
安定性などもこれに関係して決まってくるが, 詳細は次回以降.

フーリエ・ラプラス解析 第１２回

フーリエ変換の応用として, 熱拡散方程式の解の導出.
本当は熱核の導出もしたかったが, 例によって複素線積分などが絡んで面倒であったため割愛.

その前に, ディラックのデルタ関数について直観的な紹介.
ただし, 積分を用いた超関数的定義も紹介しておいた.
これにより, デルタ関数のフーリエ変換も自然に求めることができる.

以降はフーリエ係数, フーリエ変換の計算演習.
次回, これの答え合わせ.

期末試験までに, 畳み込み積分の導入と, 熱拡散方程式の解を熱核を使って表すことまではなんとか解説したい.

微分方程式 第１１回

連立線形微分方程式について.
連立線形微分方程式を解く際の道具となる行列の指数関数の定義.
行列の指数関数は, 通常の指数関数のべき級数展開のアナロジーとして定義する.
(複素関数, 作用素の指数関数の場合なども同様の考え方をする.)

対角行列, べき零行列などに対しては具体的に計算することが容易である.
一般には, 対角化可能なら対角化することにより行列のn乗が計算でき, それにより行列の指数関数が求められる.
対角化可能でない場合にはジョルダン標準化が必要になるが, これは簡単のため割愛.

次回以降は, 行列の指数関数を利用して具体的に連立微分方程式を解く.
題材は制御理論などからも選ぶ予定.