微分方程式 第１０回

2階定係数線形微分方程式, 非斉次の場合の一般解について.
一般解は, 対応する斉次方程式の一般解と, 非斉次方程式の特殊解の重ね合わせで表される.
(なお, 2階方程式の解の一意性により, 特殊解は実は一意的である. この点についてはこの講義では詳しくは触れない.)

前回も触れたように, 非斉次の場合には非斉次項の関数に似た形で特殊解が与えられる.
2階方程式の場合には, バネの振動現象を想像すれば物理的直観に基づいて理解できる.
つまり, 外力を与えられたバネは, 外力と無関係に運動することはないので, 外力の形に沿うように運動する.
ただし位相のずれなどを考慮して, 多項式なら低階項を補い, 三角関数なら正弦余弦の重ね合わせを想定するべきである.
(未定係数法では, 必要以上の関数を組み合わせても, 結果的に余分な項は消えるので正確に「暗記」することを気にしすぎることはない.)