フーリエ・ラプラス解析 第１１回

小テスト実施.

フーリエ変換の続きを少々.
ラプラス変換同様, フーリエ変換も微分演算を単項式の掛け算に置き換える働きがある.

次回は, フーリエ変換を使って熱拡散方程式の初期値問題を解いてみる予定.

微分方程式 第１０回

2階定係数線形微分方程式, 非斉次の場合の一般解について.
一般解は, 対応する斉次方程式の一般解と, 非斉次方程式の特殊解の重ね合わせで表される.
(なお, 2階方程式の解の一意性により, 特殊解は実は一意的である. この点についてはこの講義では詳しくは触れない.)

前回も触れたように, 非斉次の場合には非斉次項の関数に似た形で特殊解が与えられる.
2階方程式の場合には, バネの振動現象を想像すれば物理的直観に基づいて理解できる.
つまり, 外力を与えられたバネは, 外力と無関係に運動することはないので, 外力の形に沿うように運動する.
ただし位相のずれなどを考慮して, 多項式なら低階項を補い, 三角関数なら正弦余弦の重ね合わせを想定するべきである.
(未定係数法では, 必要以上の関数を組み合わせても, 結果的に余分な項は消えるので正確に「暗記」することを気にしすぎることはない.)

フーリエ・ラプラス解析 第１０回

逆ラプラス変換について.
色々検討したが, 変換表によらない逆変換にはどうしても複素線積分や留数定理の知識を要するため断念.
平行移動等に関する幾つかの公式を確認してラプラス変換については終えた.
(元々, 機械系の専門科目でも用いられているので, そちらに役立ててもらいたい.)

以降はフーリエ変換について若干の内容を扱って行きたい.
できればFFTについても触れたい.

次回はラプラス変換の部分について小テストを実施.

微分方程式 第９回

中間試験の解答を少々.

非斉次の2階定係数常微分方程式について.
この場合は, 物理的直観からも分かるように, 解は非斉次項に影響され似た形になると推測される.
次回はこの考え方に基づき未定係数法を解説する.

フーリエ・ラプラス解析 第９回

今週からしばらくラプラス変換と微分方程式への応用について.
なお, 機械系の学生は機械制御等で既に学習している場合も多い.

ラプラス変換の定義と, いくつかの関数に対するラプラス変換の計算例.
また, 微分演算は, ラプラス変換を通じて単項式をかける操作に書き換えられる.
これにより, 例えばある種の常微分方程式を解くことは, 分数関数の代数的な計算に置き換えることができ, 機械的な計算により解くことが可能になる.

この際, 最後に逆ラプラス変換をする必要がある.
本来は, 逆変換を計算する一般的な方法があるのだが, 複素線積分を使って書かれているためやや敷居が高い.
機械系では, 基本的なラプラス変換の表といくつかの基本的計算規則により逆変換を求める方法が取られている.

微分方程式 第８回

斉次定係数2階線形常微分方程式の一般解について.
指数関数を代入することにより, 自然に特性方程式が得られる.
特性方程式の解が,

1. 実解
2. 実重解
3. 複素数解

のそれぞれの場合について, 一般解を記述できる.

物理的に重要な単振動など, 現実に現れる振動現象を表す解は, 往々にして特性方程式の複素数解に伴う複素数値関数を用いて記述されることが多い.

フーリエ・ラプラス解析 第８回

引き続き, 熱方程式の初期値・境界値問題の解の導出.
工学では厳密解が求まることは少ないと思うが, 原理原則として一度は経験してほしい.

基本的には変数分離のうえ, 境界条件を考慮して丁寧に定数決定していけば良いが, 最終的な形がフーリエ余弦級数(ディリクレ境界条件の場合には正弦級数)になるため, 実際の取扱では周期について注意が必要である.

次回以降は, 機械制御などの教育おいてよく用いられているというラプラス変換に一旦移る予定.