フーリエ・ラプラス解析 第７回

小テスト実施.

今回から次回にかけて, 機械工学全般で登場する物理現象の中から, 熱伝導方程式と波動方程式について, フーリエ級数の応用を紹介する.
今回は熱伝導方程式にノイマン境界条件＋初期条件を課したものについての解の導出. 途中まで.

微分方程式 第６回

1階線形微分方程式の一般解の導出.
公式を代入して成り立つことを確認, でも良いが, 積分因子を求めて完全微分方程式として解く方法を用いた.

次に2解線形微分方程式の導入.
力学におけるニュートンの法則が2階方程式となるため, こちらの方が応用上現れることが多い.
今日はさわりのみで, 斉次方程式の解の線形性について.
線形代数で学んだ概念と関係が深いことを紹介した.

次回は中間試験を実施する.

フーリエ・ラプラス解析 第６回

フーリエ級数の平均2乗収束について.
ここは厳密にやるのは難しく, 可積分関数の連続関数による近似, 連続関数の三角多項式による近似, 等の基本的な事実を紹介したあと, 内積の線形代数的な取り扱いを使って, 三角多項式近似が最良近似であることを紹介した.
フーリエ級数の平均2乗収束はこれらの事実から導かれる.
なお, 以上の計算においてはε-δ法による収束の定義が用いられる.
これについても若干触れた.

次回は, 小テストを実施する.

微分方程式 第5回

完全でない全微分形方程式の積分因子の導出.
さらに, 完全微分方程式の応用として, 1階線形微分方程式について.
積分因子の導出の途中まで.

フーリエ・ラプラス解析 第５回

複素フーリエ級数の導入.
オイラーの公式による単純な式変形なので, 一度ちゃんとやれば分かると思う.

級数の収束について.
関数項級数の収束については, 機械系など工学系学科での微積分の講義ではなかなかきちんと取り扱うのは難しいと思われる.
フーリエ級数に関しては, 様々な意味での総和法とその収束が研究されている.
本講義では, その中でも各点収束と平均2乗収束について触れる.

今回は, C^2-級関数を仮定して, そのフーリエ係数は|n|^{-2}のオーダーで減衰することまで.
(本当はこの仮定は講義中で示した事例や応用を考えると不自然だが, 収束の件をどこまでやるのか, まだ悩んでいるところ.)

微分方程式 第４回

完全微分方程式の完全性の判定条件と一般解の求め方について.

完全微分方程式に現れるdx, dyという記号は形式的なものだと思っても良いが, 本当は陰関数の微分と微分形式から理解されるべきものである.
なお, 次回やる積分因子を理解すれば, 1階線形方程式も完全微分方程式の枠組みで理解できるので, 個別に覚える必要はない.

フーリエ・ラプラス解析 第４回

具体的な関数をフーリエ級数展開する実例の計算.
係数決定のための積分計算はとりあえずまじめにやりましょう.

関数の微分可能性や(不)連続性に応じて, フーリエ係数の減衰の速さ(つまり級数の収束性)が変化する.
特に, 展開する関数が不連続点を持つ場合には, 不連続点の近傍では収束が悪くなる.
これをギブス現象と言う.

最後に時間が少しだけあったので, 次回以降の複素フーリエ級数に使うオイラーの公式の復習.